Den naturlige logaritmen

Den naturlige logaritmen $\ln x$ kan defineres på følgende måte:

Definisjon av

\ln x

Den naturlige logaritmen $\ln x$ er den inverse funksjonen til $e^{x}$ slik at

e^{\ln x} = x

Siden $e^{x} > 0$ vil også $e^{\ln x} > 0$ . Ut fra likheten over så ser vi at $x > 0$ .

Definisjonsmengden er dermed alle positive tall: $D_{f} = ⟨ 0, \infty ⟩ = {x ∣ x > 0}$ .
Verdimengden er alle reelle tall: $V_{f} = ⟨ - \infty, \infty ⟩ = {x ∣ x \in R}$ .

plot(log(x),1/x, [-1,4],[-4,2])==?

Den deriverte av ln x

(\ln (x))^{'} = \frac{1}{x}

Merk at selv om $g (x) = \frac{1}{x}$ er definert for $x \in R ∖ 0$ så er den deriverte av logaritmefunksjonen kun definert for $x > 0$ .

Funksjonen $f (x) = \ln x$ har definisjonsmengde ${x ∣ x > 0}$ . Derfor kan ikke den deriverte ha noe større definisjonsmengde enn dette. For å derivere en funksjon så den være kontinuerlig i punktet. Det gir ikke mening å snakke om vekstfarten til $f$ i $x = - 2$ siden $f (- 2)$ ikke eksisterer.

Beviset for

(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}

Vi vet at

e^{\ln x} = x

For å bevise $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ så deriverer vi hver side av likningen ovenfor og sammenligner svarene. Hvis vi deriverer den høyre siden av får vi at

(x)^{'} = 1

Vi kan også forsøke å derivere den venstre siden av likningen ved hjelp av kjerneregelen. Vi setter da $u = \ln x$ og får

(e^{\ln x})^{'} = (e^{u})^{'} \cdot u^{'} = e^{u} \cdot (\ln x)^{'} = \underset{= x}{\underset{⏟}{e^{\ln x}}} \cdot (\ln x)^{'} = x \cdot (\ln x)^{'}

Foreløpig kommer vi ikke lengre, siden vi enda ikke har bevist hva den deriverte av $\ln x$ er. Her kommer derfor den geniale ideen inn – vi sammenligner resultatene av derivasjonene.

Siden vi vet at $e^{\ln x} = x$ så må $(e^{\ln x})^{'} = x^{'}$ . Derfor må også:

\begin{aligned} (e^{\ln x})^{'} & = x^{'} \\ x \cdot (\ln x)^{'} & = 1 \\ (\ln x)^{'} & = \frac{1}{x} & Q . E . D . \end{aligned}

Den integrerte av ln x

\int \ln (x) d x = x (\ln (x) - 1) + C

Bevis for integralet

Det er ikke så lett å integrere $\ln (x)$ , du er nødt til å bruke et triks og delvis integrasjon.

La $f (x) = \ln (x)$ . Ved å sette $\ln (x) = 1 \cdot \ln (x)$ så kan vi bruke delvis integrasjon

\int \ln (x) d x = \int 1 \cdot \ln (x) d x = x \cdot \ln (x) - \int x \cdot \frac{1}{x} d x

Vi trekker sammen og får

x \cdot \ln (x) - \int 1 d x = x \cdot \ln (x) - x + C = x (\ln (x) - 1) + C